zelená rusalka

 

1 Čo to je za veta a o čom a aká je Zuzka. . .

To je tá jedna veta, čo si kedysi len tak pod fúz v Petrohrade ujo Euler zamrmlal.

Veta 1. Pre každý konvexný mnohosten platí

S + V − H = 2,

kde S je počet stien, V počet vrcholov a H počet hrán toho mnohostena.

Poslal som raz Zuzke pravidelné monohosteny, ktorých krásu ešte Platón vychutnával. A pre všetky to platilo a just aj pre iné, čo ich len bolo po Rusalkove roztrúsených. Nuž, bola to Zuzka premýšľavá a tak si hneď tri dôkazy premyslela, len sa tak za ňou zaprášilo :-)))) Čože som už robiť mal, pekne som ich pozbieral a tuto pre vás, milé deti, spísal.

Ujo MišoLietavec :-)

 

Ide sa na vec. . .Tak, mnohosten má mnoho stien, každá z nich je mnohouholník, čo má mnoho uhlov a tam, kde sa lámu, žijú vrcholy. Vrcholy sú hore aj dolu, hrany a steny ich držia pospolu, lebo inak by sa rozpadli, to viete, každý vrchol chce byť čo najvyššie :-) A ktorýže je mnohosten konvexný? Nuž, poznáte ich ľahko, lebo nech ich vrtíte ako chcete, vodu zo studničky si do nich nenaberiete, ak sú z drahých kameňov, ako to už v Rusalkove býva. Drahým kameňom sa aj listy píšu, ale oni nie vždy odpovedia, lebo sú tvrdé a ťažko sa im pokladajú písmenká.

 

Ešte pred dôkazmi si Zuzka mnohosteny zdomácnila tak, že si od nich len ich hrany, steny a vrcholy vypýtala a pekne-krásne na papier uhladila. Jasné, že bolo treba vždy jednu stenu vrátiť, aby sa dalo do mnohostena dostať rukami :-) Bolo na uhladenie miestami aj silu treba použiť, ale ich to nebolelo, veď sa mohli tešiť na to, že sa zas vrátia na svoje drahé kamene už pekne dokázané :-)

Pozrite sa, ako pekne si voľkali niektoré:

 

 

tou deravou stenou položené na papier tu. Ale, aby sa nejašili, že im stena, na ktorú boli už zvyknuté chýba, každý dostal celý okolitý papier, nekonečne veľký. Koľko mnohostenov, toľko papierov :-) No a oboch samozrejme, nekonečne veľa. Lebo tam musí byť ľubovoľný mnohočlen na aký si len pomyslíte :-) Aby nebol tak strašne neadresne pomenovaný, nazvime ho G. A zdrobneninka, kto to má rád je Géčko :-)

 

Zobrala si Zuzka ešte na pomoc Indukciu, tá sa sama ponúkla, že dôkazy dva hravo zvládne. Nuž, tak.

Ak G má len jeden vrchol, nemá hrany a len jednu stenu, tú nekonečnopapierovú.

Takže S +V −H = 1+1−0 = 2 a ujo Euler sa usmieva, lebo jeho veta je pre toto Géčko veru múdra a správna. Ak G má vrcholov viac (a ktožeby ich viac nechcel? :-) tak si vyberieme jednu hranu a taaaak ju stisneme, až sa jej obidva koncové vrcholy nekonečne priblížia, čo im iste nebude nepríjemné :-)

No veď ani nám nie, lebo nám odbudne jeden vrchol a jedna hrana, čím sa ale výraz S + V − H oproti pôvodnému mnohostenu nezmení. A tu už pri nás stojí krásna Indukcia a berie si ten ochudobnený mnohosten na seba – poď, môj, máš o jeden vrchol menej, pre Teba je Eulerova veta správna, lebo taký je môj, Indukčný, predpoklad :-)

Nuž, čo viac dodať? Žili si dokázaní, až do skončenia vekov. . .

 

Hanba sa priznať, ale chudobné Géčko, čo nemá ani jednu hranu je to isté, ako povyššie, teda to jednovrcholové. Tak, tak :-) jeden vrchol, žiadna hrana; 2 tie sa objavia až keď sa to zavrcholí vrcho(lo)vato. Takže Euler, máš Ty pravdu :)

 

No a pre mnohosten, čo má aspoň jednu hranu, použijeme zasa to premýšľanie horné. Urobíme radosť nejakým dvom susedným vrcholom (a už si ich nebudeme všímať), necháme zmiznúť jednu hranu a Indukcia zopakuje tie utešné slová, len s tým, že tentoraz bude reč o hranách, a že ich je o jednu menej :-)

 

Nooo, najskôr si tie trojuholníky musíme narobiť. Horesediace mnohosteny, vidíte, niektoré steny majú viacuholné, vidíme tam čajsi štvoruholníky ba aj päťuholník. Zoberieme ľubovoľnú viacuholnú stenu Géčka a pretiahneme hranu medzi dvomi nesusednými vrcholmi. Dôležité je, že sme pridali jednu hranu a jednu stenu (bo sme tú pôvodnú na dve menšie rozsekli) a teda výraz

S + V − H ani okom nemrkol, vôbec, ale vôôôbec sa nezmenil.

 

Nuž, také sú niektoré výrazy. . .

Ak ešte ostanú viacuholníkové steny, budeme preťahovanie hrán opakovať, až kým sa milý G nebude celý triangularizovaný (trojuholník sa ľúbi trianglom nazývať, je mu to tak viac po vôli :-) A toto nové Géčko bude mať stále ten výraz S + V − H rovnaký, ako to prapôvodné.

 

Nech má triangularizované Géčko aspoň dva trojuholníky, inak nie je o čom :-) Budeme mu postupne uberať trojuholníky, ale tak, aby sme sa nedajboh, nedotkli hodnoty výrazu S + V − H

 

Najskôr budeme postupne odstraňovať tie trojuholníky, čo majú dve strany pozerajúce sa na nekonečnopapierovú stenu (vonkajšok). Vždy pritom ubudne jeden vrchol, dve strany (hrany) a jedna trojuholníkova stena – v tom výraze sa to prejaví ako −1 − 1 + 2, teda ho to ani nehne.

 

No a teraz začneme postupne odstraňovať trojuholníky, čo majú len jednu stranu hľadiacu do šírych priestorov vonkajška. Takouto operáciou zmenšime počet hrán aj počet stien o jednu a to sa v našom výraze vyeliminuje, lebo počet hrán a stien je tam s opačným znamienkom.

Pri takomto drastickom odstraňovaní trojuholníkov nieto vyhnutia – a nakoniec ostane len jeden trojuholník,

pre ktorý je S+V −H = 2+3−3 = 2

 

a ujo Euler radosťou bačovskú zanôtil :-))) Lebo to, čo robí tento výraz pre jeden trojuholník, teda že je to vlastne zamaskovaná dvojka, tak to vypovedá aj o jeho hodnote pre pôvodné Géčko, lebo sa našimi manipuláciami vôbec, ale vôôôbec nezmenil :-)))

 

No a tu sa ešte Zuzkino premýšľanie neskončilo, prezradila mi, že má ešte za lubom dôkaz pomocou ušnej dekompozície, súčtu vnútorných uhlov ba aj pomocou archy Noemovej. No o tom potom, teraz do postieľok a nech sa vám pekne sníva :-))))))